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——在我将来长大成人,成家立业的时候,必定会记得这样一位老师,一个被我列为心中偶像的老师,一个与众不同的老师,一个博学多才的老师,一个时时都笑容可掬的老师,一个教我做人的朋友。
——生活在这个年代,能够遇到这样的老师是上天的恩赐,感谢有你!
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九点共圆:数学的魅力
点击:49 评论:0 2021年12月28日 9:43 作者:刘旺 智词:
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数学这个学科的学习伴随着每个中小学生的整个学习生涯,刷题成为很多学生共同的经历和记忆,这也是众多学生提升数学成绩的唯一路径。

数学的学习当然离不开做题,回顾自己的学生时代,真正感受数学学习魅力就是在学习平面几何证明题的时候,当时可谓痴迷于那个考虑思维的证明过程。

遇到一时难以证明的难题,几个同学一起思考,或找数学老师一起证明,当时没有网络,要找到课本之外的题目不容易,遇到难题大家共同分享。那种经历成为数学学习最美好的体验。

在课外阅读的时候,一直留意数学通俗类的读物,至今记得一本《数海勾沉》带给我的数学视野,数学的世界就像美丽的花园,吸引着喜欢数学的人们在其中漫步。

数学是空间里的凝缩,数学是数量里的组合,数学是科学发展的纽带,数学是人类离开愚昧、走向更高级的文明的使者。在数学的每个字符中,都闪烁着数学家们的智慧,璀璨而又夺目,令人目不暇接。

任意三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心(三高交点)与顶点的三条连线的中点,这九点恰好在同一个圆的圆周上,这个圆通常称为三角形的九点圆或叫“九点共圆”,简称“九点圆”。这是三角形的现代几何中最精巧的定理之一。

我们来看九点圆的一个图形,其中的九个点,三个为三角形ABC三边的中点(图中红点DEF),不新奇;三个为三角形ABC的三个垂足(图中蓝点JKL),这也不奇怪;最后三个为垂心到三个顶点连线的中点(图中绿点A'B'C'),这三个点不常提及,是大数学家欧拉发现的,所以也叫欧拉点。因此,有时,也把九点圆叫做欧拉圆(欧拉之后的费尔巴哈也发现了这个圆,所以,九点圆也有时被称作费尔巴哈圆)。

九点圆定理的证法很多,如可任取其中三点作圆,再证余下六点在所作圆上.从九点中任取三点就有84种取法,再按任意次序证其余六点与前三点共圆,有人计算过共有94832640000种证法,因此它是平几中证法最多的一个定理。

九点圆定理的成立只是九点圆的冰山一角,这么多中点,垂直的性质,一定可以和很多几何对象关联起来,得到很多其他的性质,这里列举一些:

1.九点圆的半径是外接圆的一半,且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。

2.圆心在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点。

3.九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切(费尔巴哈定理)。

4.圆周上四点任取三点做三角形,四个三角形的九点圆圆心共圆(库利奇-大上定理)。

这每一个定理的理解和证明都是体现平面几何之美的绝佳案例。

欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中提出“欧拉线定理”:任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,这条直线就叫该三角形的欧拉线。

九点圆的圆心在什么位置呢?圆心是三角形三边中点所确定的三角形DEF的外接圆。我们只需作出DEEF的中垂线,两者的交点就是九点圆的圆心。我们还有另一种方法找九点圆圆心。在下图中,DJEK都是九点圆的圆弧,那么,这两段弧所对的弦的中垂线就一定交于九点圆圆心。图中DJHUEKHU是两个梯形,OMON是这两个梯形的中位线,所以,OUH的中点。即九点圆圆心是三角形ABC外接圆圆心U和垂心H的连线UH的中点。这里的UH就是所谓的欧拉线。

在做平面几何题的时候,根据题设的特点想到相关的定理和方案,是一种非常需要经验也是考察功力的事情,在九点圆定理的证明中也得到了体现。找到这种思路的一种方法就是我们常说的“猜想”,这也是真的日后做科学研究获得灵感的重要思维方式。

几何就是这么美妙,看似没有关系的中点、垂足、以及欧拉点,竟能够如何完美和谐地共存于同一个圆中,产生诸多美妙的性质。好似夜空中的北斗七星,散发着迷人的光芒。(2021-11-22

 

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